합성 저항과 키르히호프 법칙

키르히호프 전압 법칙

회로 해석에 있어서 옴의 법칙 만큼이나 유명하면서 널리 활용되는 법칙 중 하나가 키르히호프 법칙입니다. 독일의 물리학자인 구스타프 키르히호프가 정립한 전기 회로에 관한 법칙으로, 전압에 관한 법칙과 전류에 관한 법칙으로 구분되지요.

위 그림과 같은 회로를 예로 들어서 생각해 봅시다. 이 회로에는 크기가 V_S[V]인 전압원 하나와 크기가 R₁[Ω], R₂[Ω]인 저항이 하나씩 포함되어 있는데요. 전압원과 저항들을 위 그림과 같이 연결해서 하나의 폐회로를 구성할 수 있습니다. 그렇게 되면 전압원이 회로에 포함되어 있기 때문에, 크기가 I [A]인 전류가 흐르게 되겠지요.

전류가 흐른다는 것은 전압원의 (+) 극에서 출발한 전하가 (-) 극으로 회로를 따라 이동하는 것을 의미 (어디까지나 회로 해석에서의 전류 방향이 그렇다는 의미입니다.)합니다. 그리고 이 과정에서 또 다른 전압원을 만날 수도 있고 저항을 만날 수도 있는데요. 전압원을 만나게 되면 전압이 상승하게 되고, 저항을 만나게 되면 전압이 떨어지게 됩니다. 이것을 전압 상승 및 전압 강하라고 부르는데요. 이렇게 회로를 따라 이동하는 전하에서 발생하는 전압 상승 및 강하의 총 합은 언제나 0이 된다는 것이 키르히호프의 전압 법칙입니다. 다시 말해서, 크기가 V_S[V] 만큼의 에너지를 갖고 출발한 전하들은 폐회로를 일주하는 과정에서 갖고 있던 에너지를 모두 소모하고, 전압원의 반대 극으로 돌아올 때는 0[V]로 돌아온다는 것이 키르히호프 전압 법칙의 기본적인 룰이라고 말씀드릴 수 있습니다.

이 내용을 기억하면서 위 그림의 회로를 전류의 방향에 따라 다시 한번 들여다 보면, 전압원의 (+) 극에서 V_S[V] 만큼의 에너지를 가진 상태로 출발한 전하들이 저항 R₁과 R₂에서 에너지를 까먹고 돌아온다는 말인데요. 각각의 저항에서 까먹는 전압 강하량을 V₁[V], V₂[V]라고 정의하고, 이 회로에 I [A]의 전류가 흘렀다고 한다면,

와 같이, 옴의 법칙에 따라 각 저항에서 일어나는 전압 강하량을 계산할 수 있구요. 키르히호프의 전압 법칙에 따라

의 식을 얻을 수 있습니다. 여기서, 두 저항의 크기를 합한 부분을

으로 치환하면,

이렇게 식을 변환할 수 있습니다.

따라서, 마지막으로 변환된 식을 옴의 법칙으로 해석하면 위 그림과 같은 회로로 변환할 수 있구요. 여러 개의 저항이 연결된 회로를 하나의 합성 저항만 연결된 회로로 변환할 수 있는데, 직렬로 연결된 저항의 경우에는 합성 저항의 크기가 각 저항의 크기를 모두 합친 크기와 같다는 것을 알 수 있습니다.

다시 처음으로 돌아와서, 이번에는 각 저항에서의 전압 강하량에 초점을 맞춰서 회로를 해석해 봅시다.

합성 저항과의 관계를 통해 회로 전체에 흐르는 전류의 양을 위 식과 같이 정리할 수 있는데요. 여기서 전류의 양을 이용해서,

각 저항에서의 전압 강하량을 계산할 수 있습니다. 이렇게 정리된 내용을 통해, 저항이 직렬로 연결된 회로에서는 각 저항의 크기에 비례하여 전압 강하가 이루어진다는 것을 알 수 있구요. 이것을 전압 분배 법칙이라 부릅니다.

멀티심을 이용한 간단한 회로 시뮬레이션을 통해 지금까지의 내용을 다시 한 번 살펴보겠습니다.

위 그림과 같이 크기가 2[Ω]인 저항 R₁ 과 크기가 3[Ω]인 저항 R₂가 직렬로 연결된 회로에 10[V]의 전압을 인가하였습니다. 프로브를 이용해서 각 저항에서 발생하는 전압 강하량을 측정해 보면, 키르히호프의 전압 법칙에 따라 각 저항에 대한 전압 강하량의 합과 공급 전압원의 크기가 같다는 것을 확인할 수 있구요. 각 저항에서의 전압 강하량은 저항의 크기와 비례한다는 것도 확인할 수 있습니다.

아울러, 직렬로 연결된 저항의 전체 크기를 멀티메터로 측정해보면, 두 저항의 합과 같은 크기라는 것도 확인할 수 있습니다.

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키르히호프 전류 법칙

이번에는 키르히호프의 또 다른 법칙인 전류 법칙에 대해 알아보겠습니다.

위 그림과 같이 2개의 저항이 병렬로 연결된 회로를 예로 들어보겠습니다. 저항이 병렬로 연결되어 있으므로, 노드 a에서 저항 R₁과 R₂로 분기되는데요. 그리고 노드 b에서 다시 하나로 모이게 됩니다. 키르히호프의 전압 법칙에서는 전압원에서 출발한 전하들이 모두 하나의 길을 따라 이동했기 때문에 같은 양의 전하들이 각 저항들을 통과했지만, 위 그림의 회로에서는 노드 a에서 두 갈레로 갈라지기 때문에 각 저항으로 분기된 라인을 따라 전하들이 나눠져서 이동하게 됩니다. 다시 말해 병렬 연결에서는 전류가 분산되는 현상이 일어난다는 말이지요.

그렇다는 것은 노드 a의 관점에서 봤을 때, 전압원 방향으로부터 흘러들어 오는 I [A] 크기의 전류가 저항 R₁과 R₂가 연결된 마디로 나눠져서 흐르는데, 각 마디로 나눠진 전류의 총 합과 흘러들어온 전류의 크기는 당연히 같을 것이구요. 노드 b의 관점에서 본다면, 각 마디에서 흘러들어 오는 I₁[A]과 I₂[A] 크기의 전류가 노드 b를 통과하면서 하나로 합쳐지게 되는데, 이 때 전류의 크기 또한 당연히 같을 것입니다. 이렇게 하나의 노드를 기준으로, 연결된 모든 마디로 흘러들어오는 전류의 총 합과 흘러나가는 전류의 총 합이 같다는 것이 키르히호프의 전류 법칙입니다.

이번에는 위 그림의 회로를 키르히호프의 전압 법칙의 관점에서 다시 생각해 봅시다. 전압원에서 V_S[V] 만큼의 에너지를 갖고 출발한 전하들이 회로를 따라 이동하던 중에 노드 a에서 두 방향으로 분기가 되면서 전하들도 양쪽으로 나눠져서 이동하게 됩니다. 하지만, 노드 b 이후에는 어떠한 저항도 연결되어 있지 않기 때문에 어느 마디로 전하가 이동하든 관계 없이, 키르히호프의 전압 법칙에 따라 전하가 가지고 있던 에너지를 모두 소모하고 통과하게 됩니다. 다시 말해서, 저항 R₁과 R₂에서의 전압 강하량은

전압원의 크기와 같다는 것을 알 수 있지요. 여기서 각 마디에 흐르는 전류를 각각 I₁과 I₂라고 한다면, 키르히호프의 전류 법칙에 따라,

의 관계식을 얻을 수 있는데요. 옴의 법칙을 이용하면,

과 같이 정리할 수 있고,

저항 부분을 위 식과 같이 R_eq으로 치환한다면,

와 같은 회로로 등가 변환할 수 있습니다. 따라서, 여러 개의 저항이 병렬로 연결된 경우에는 각 저항의 역수를 모두 합친 다음에 다시 역수화 시킨 것과 같다고 정리할 수 있습니다. 이번에는 위 식을

으로 변환한 후 각 마디 전류에 대한 옴의 법칙 관계식에 대입하면,

으로 정리할 수 있구요. 합성 저항 R_eq를

각각의 마디 전류 식에 대입하면

의 식을 얻을 수 있습니다. 따라서, 저항이 병렬로 연결된 회로에서는 각 마디로 분기되는 전류의 크기가 저항의 상대적인 크기에 반비례 한다는 것을 알 수 있구요. 이것을 전류 분배 법칙이라 부릅니다.

멀티심을 이용한 간단한 회로 시뮬레이션을 통해 지금까지의 내용을 다시 한번 살펴보겠습니다.

위 그림과 같이 크기가 2[Ω]인 저항 R₁ 과 크기가 6[Ω]인 저항 R₂가 병렬로 연결된 회로에 12[V]의 전압을 인가하고, 프로브를 이용해서 회로 전체에 흐르는 전류와 각 저항이 연결된 마디에 흐르는 전류를 측정해보면, 키르히호프의 전류 법칙에 따라 전류가 분배되는 것을 확인할 수 있구요. 각 마디로 분배되는 전류의 크기는 저항의 상대적인 크기에 반비례하는 것도 확인할 수 있습니다.

아울러, 병렬로 연결된 저항의 전체 크기를 멀티메터로 측정해보면, 위 식과 같이 계산된 크기와 동일한 것을 확인할 수 있습니다.