중첩의 원리

중첩의 원리

중첩의 원리는 전원 (전압원 또는 전류원)이 여러 개가 포함된 회로를 해석할 때, 특정 단자에 걸리는 전위차를 구하거나 특정 마디를 흐르는 전류의 크기를 알고자 할 때 사용하는 해석 방법입니다.

위 그림과 같이 전압원과 전류원을 하나씩 포함하고 있는 회로에서, 저항 R₃가 연결된 마디로 얼마의 전류가 흐르는지를 해석해야 한다고 가정해 봅시다. 저항 R₃가 연결된 마디는 전압원과 전류원 모두의 영향을 받기 때문에, 얼마의 전류가 흐르는지를 단번에 알아내기가 쉽지 않습니다. 이럴 때, 중첩의 원리를 적용하는데요. 중첩이라는 단어의 의미 그대로, '무엇'인가를 겹치는 방식으로 원하는 결과를 얻어내는데, 여기서 말하는 '무엇'이라는 것이 회로에 포함된 전압원과 전류원에서 개별적으로 미치는 영향을 의미합니다. 다시 말해, 하나의 전압원 또는 전류원만 살려놓은 상태에서 단자 전압이나 마디 전류를 계산하는게 되면, 살려놓은 전압원과 전류원이 개별적으로 미치는 영향을 해석할 수 있구요. 다른 전압원과 전류원에 대해서도 동일한 과정을 반복해서 적용하면, 각각의 전압원과 전류원이 미치는 영향을 개별적으로 알 수 있게 됩니다. 그리고 이렇게 계산한 내용들을 하나로 결합하면, 원하는 단자 전압 또는 마디 전류를 알 수 있게 되지요.

간단한 예제를 통해 중첩의 원리를 어떻게 적용하는지 구체적으로 알아보겠습니다.

위 그림과 같이 12[V] 크기의 전압원과 1[A] 크기의 전류원을 가진 회로에서 저항 R₃가 연결된 마디로 흐르는 전류의 크기를 중첩의 원리로 해석해 볼건데요. 방금 전에 말씀드린 것처럼, 중첩의 원리를 적용하기 위해서는 개별적인 전원의 관점에서 미치는 영향을 구해주어야 합니다.

1) 전압원이 미치는 영향

마디 전류 I[A]에 대해 전압원이 미치는 영향을 알아보기 위해서는 먼저 전류원을 제거해주어야 합니다. 전류원은 이름 그대로 전류를 공급하는 전원이므로, 전류원을 제거한다는 것은 전류가 흐를 수 없도록 개방해 주는 것을 의미합니다.

따라서, 위 그림과 같이 회로를 변환할 수 있는데요. 전류원이 연결되어 있던 부분이 개방되었으므로, 저항 R₂의 방향으로는 전류가 흐르지 않게 됩니다.

즉, 위 회로와 같이 등가 변환할 수 있다는 말이구요. 이 때의 마디 전류 I는

가 됩니다.

2) 전류원이 미치는 영향

마디 전류 I[A]에 대해 전류원이 미치는 영향을 알아보기 위해서는 먼저 전압원을 제거해 주어야 합니다. 전압원은 이름 그대로 두 지점 사이의 전위차를 가하는 전원이므로, 전압원을 제거한다는 것은 그냥 하나의 도선으로 단락시켜 주는 것을 의미합니다.

위 그림처럼 말이지요. 이렇게 전압원 부분을 단락시켜 주었으므로, 전류원의 입장에서 보면 저항 R₁과 저항 R₃가 병렬로 연결되어 있고, 이들의 합성 저항과 저항 R₂가 직렬로 연결되어 있는 회로가 됩니다. 전류원에서 출발한 전류는 키르히호프의 전류 법칙에 따라 저항 R₁과 저항 R₃의 병렬 접속 부분에서 분기한 다음, 저항 R₂ 앞에서 다시 합쳐지므로 저항 R₃의 마디 전류는 전류 분배 법칙을 통해 계산할 수 있습니다.

해석하고자 하는 마디 전류에 대해, 전압원과 전류원이 개별적으로 미치는 영향을 알아보았는데요.이렇게 얻게된 마지 전류를 합쳐주는 작업만 진행하면 됩니다. 그런데 여기서 무턱대로 각각의 마디 전류를 합치면 안되구요. 전류의 방향에 주의해서 합쳐주어야 합니다.

전압원에 의한 마디 전류를 보면, 전압원의 (+) 극성이 저항 R₁을 향해 있으므로, 전압원에 의한 마디 전류의 방향은 우리가 해석하고자 하는 방향과 동일합니다.

하지만, 전류원에 의한 마디 전류의 방향은 위 그림과 같이 해석하고자 하는 방향과 반대가 되는데요. 이럴 때는 부호를 음수로 변경해서 전류를 합쳐주어야 합니다.

즉, 해석하는 마디 전류의 방향과 같은 방향은 더해주고, 반대 방향은 빼주면 되는데요. 이렇게 계산한 결과가 양수인 경우에는 구하고자 하는 방향과 같은 방향으로 마디 전류가 흐른다는 말이고, 음수가 나오면 반대 방향으로 흐른다고 해석할 수 있습니다.

멀티심을 이용해서 이 문제의 결과를 직접 확인해 보면,

앞에서 계산한 것과 마찬가지로, 1.25[A]의 마디 전류가 측정되는 것을 확인할 수 있습니다.