인덕터와 인덕턴스

인덕턴스

1820년 덴마크의 과학자인 한스 크리스티안 외르스테드는

전류가 흐르는 도선 주위에 그림과 같이 나침반을 놓았을 때, 나침반의 방향이 도선을 중심으로 하는 원의 형태로 정렬되는 것을 발견하였습니다. 그리고, 이것을 통해 전류가 흐르는 도선 주위에는 자기장이 만들어진다는 사실을 알게 되었는데요. 이 후, 프랑스의 물리학자 비오와 사바르의 실험에 의해, 전류가 흐르는 도선 주위에 생기는 자기장은 전류의 세기에 비례하고, 도선으로부터 떨어진 거리에 반비례한다는 것을 밝혀내었으며, 프랑스 물리학자 앙드레 앙페르는 1827년 본인의 논문을 통해 암페어의 법칙을 수학적으로 유도하였습니다.

이들이 전류에 의해 발생되는 자기장에 관한 내용을 발표하였다면, 1831년 영국의 물리학자인 마이클 패러데이는

코일 주변에서 자기장이 변화하는 경우, 코일에 일정한 기전력이 유도되는 전자기 유도 법칙을 발견하였구요. 1834년 독일의 물리학자인 하인리히 렌츠는 패러데이의 전자기 유도 법칙에서 한걸음 더 나아가, 자기장의 변화에 의해 유도되는 기전력의 방향을 렌츠의 법칙을 통해 발표하였습니다.

이러한 물리적인 특성을 살려서 자심이라 부르는 물체에 도선을 여러 번 둥글게 감은 형태로 전기 회로에서 사용하는데요. 이러한 소자를 인덕터라고 부르고, 전류에 의한 자기 작용을 끌어내기 위한 용도로 사용합니다.

이러한 소자의 생긴 모양을 본따서, 회로 안에서는 코일을 여러 번 감아 놓은 형태로 표현하구요. 이러한 인덕터 소자가 가지고 있는 성질인 인덕턴스를 회로 해석 과정에서는 알파벳 L (단위는 헨리 [H])을 이용해서 표현합니다.

크기가 L인 인덕터에 전류가 흐르게 되면, 패러데이의 전자기 유도 법칙에 따라 전류의 흐름을 방해하는 유도 기전력이 발생하면서 전압이 유도됩니다. 그리고 이 때 유도되는 전압은 인덕턴스와 전류에 의해

와 같은 관계식으로 표현할 수 있구요. 초당 1[A]의 비율로 변하는 전류가 1[H]의 인덕터에 흐를 경우 1[V]의 기전력이 유도된다는 의미로 해석할 수 있습니다.

위의 관계식에서는 전압과 전류를 지금까지의 표현과 달리 소문자로 나타내고 있고, 시간에 대한 함수의 형태로 표현하고 있습니다. 회로 해석에서 시간의 변화와 관계 없이 정해진 값을 갖는 경우 대문자로 표현하지만, 시간의 변화에 따라 값도 함께 변화되는 경우에는 소문자를 이용해서 표현하기 때문인데요. 다시 말해, 위 관계식에서 대문자로 표현된 L은 인덕터가 가지고 있는 고유의 성질이므로, 시간의 변화와 관계 없이 불변이라는 것을 의미하지만, 전압과 전류는 변화될 수 있다는 것을 의미합니다.

지금까지의 내용을 멀티심으로 확인해 보겠습니다.

위 그림과 같이 회로를 구성하였습니다. 여기서 회로의 스위칭 효과를 주기 위해 클럭 형태의 전압원을 연결하였구요. 5[V] 크기의 전압을 500ms 주기로 공급하였을 때, 인덕터의 양단에 얼마의 전압이 걸리는지를 프로브로 확인해보면,

위와 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 여기서 전압원의 한 주기에 대한 시뮬레이션 결과를 해석해 보자면, 일단 5[V]의 전압이 막 공급되는 시점에 인덕터의 양단에도 5[V]의 역기전력이 발생하는 것을 확인할 수 있습니다. 이 역기전력은 회로 전체에 흐르는 전류를 방해하기 때문에 5[V]의 전압이 걸렸음에도 불구하고 전류가 흐르지 않는 것을 볼 수 있지만, 시간이 흐름에 따라 인덕터의 역기전력이 서서히 약해지면서 회로의 전류 또한 서서히 증가하는 현상을 보이게 됩니다.

반대로, 회로에 걸리는 전압이 0[V]가 되는 시점에서는 인덕터의 양단에 -5[V]의 역기전력이 형성됩니다. 그래서, 회로에 전압이 걸려있지 않은 상태이지만 여전히 전류가 흐르는 것을 확인할 수 있구요. 시간이 흐름에 따라 인덕터의 역기전력이 서서히 약해지면서 회로의 전류 또한 서서히 감소하는 것을 확인할 수 있습니다.

이러한 멀티심의 시뮬레이션 결과를 통해, 인덕터는 에너지를 저장하는 능력이 있다고 해석할 수 있습니다. 정확히는 유입되는 전기 에너지를 자기 에너지로 변환하여 저장하는 특성이라고 말씀드릴 수 있는데, 전압이 걸렸지만 전류가 흐르지 않았던 구간은 회로에 전류를 흘려주는 대신 에너지를 축적하는 단계였고, 에너지가 완전히 축적된 상태에서는 더 이상 에너지를 축적할 수 없으므로, 저항만이 연결된 회로처럼 전류가 흐르게 됩니다. 반대로, 전압이 차단되는 시점에서는 축적된 에너지를 반환하는 과정이 시작되기 때문에 일정 시간 동안 전류의 흐름이 유지되었던 것이구요. 축정된 에너지의 반환이 끝나고 나면, 실제 전압이 차단된 회로처럼 전류 또한 흐르지 않게 됩니다. 이러한 과정은 회로의 반응 속도를 약간 지연시키는 결과로도 이어지게 되지요.

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합성 인덕턴스

저항과 마찬가지로, 회로 안에서 여러 개의 인덕터를 연결해서 사용할 수 있습니다. 그리고, 여러 개의 인덕터가 사용되었지만, 회로를 해석하는 과정에서 하나의 인덕터가 연결된 회로처럼 등가 변환할 수 있는데요.

2개의 인덕터가 직렬로 연결된 회로에 전압 v(t)를 가해서 i(t)의 전류가 흘렀다고 한다면,

인덕터의 유도 전압을 계산하는 식을 키르히호프의 전압 법칙에 적용해서 위와 같은 식을 얻을 수 있습니다. 그리고, 크기가 L_eq인 인덕터의 양단에 같은 크기의 전압을 인가해서 같은 크기의 전류가 흘렀다고 한다면,

마찬가지로 위와 같은 인덕터의 유도 전압 식을 얻을 수 있구요. 두 식을 하나로 결합하면,

와 같이 정리할 수 있습니다. 다시 말해, 직렬로 연결된 인덕터를 하나의 인덕터로 합성할 경우 합성 인덕턴스의 크기는 각 인덕턴스의 합과 같다는 것을 알 수 있지요.

이번에는 병렬로 연결된 인덕터에 대한 합성 인덕턴스를 알아보겠습니다. 마찬가지로, 2개의 인덕터가 병렬로 연결된 회로에 전압 v(t)를 가해서 i(t)의 전류가 흘렀다고 한다면, 두 인덕터가 분기되는 지점에서 키르히호프의 전류 법칙에 따라 전류도 함께 분기될 것입니다. 각 인덕터의 마디로 분기된 전류를 i₁(t)와 i₂(t)라고 한다면,

라는 키르히호프 전류 법칙에 관한 식을 얻을 수 있구요. 두 인덕터는 병렬로 연결되어 있으므로, 각각의 인덕터에는 회로 전체에 인가된 전압과 같은 크기의 전압이 걸리기 때문에,

와 같이 각 인덕터의 유도 전압 식을 전류에 관한 식으로 변환할 수 있고,

키르히호프의 전류 법칙에 대입하면,

와 같이 정리할 수 있습니다. 그리고, 크기가 L_eq인 인덕터의 양단에 같은 크기의 전압을 인가해서 같은 크기의 전류가 흘렀다고 한다면, 인덕터의 유도 전압 식으로부터

와 같은 전류에 관한 식으로 변환할 수 있구요. 키르히호프 전류 법칙에 대입하면,

와 같이 정리할 수 있고, 이것으로 병렬로 연결된 인덕터를 하나의 인덕터로 합성할 경우 합성 인덕턴스 크기의 역수는 각 인덕턴스 크기의 역수를 합한 것과 같다는 사실을 알 수 있습니다.