페이저

페이저

지금까지 교류 회로에서 전압이나 전류를 사인곡선으로 표현해왔었다. 그리고, 교류 전압 또는 전류에 대한 수동 소자들의 동작 특성 역시 사인함수를 그대로 사용해서 해석해왔다. 그러다보니, 미분과 적분이 번갈아가면서 나타났고, 미적분을 아직 정확히 이해하지 못한 사람들에게는 교류 회로 자체가 해석하기 상당히 어려운 난제처럼 느껴질 수 있다.

영국의 공학자인 올리버 헤비사이드는

의 식이 성립한다는 것에서 출발하여,

라는 수학적으로는 말도 안되는 내용이지만, 각 소자의 특성을 해석하는 식의 미분 파트에 대입해서,

을 얻은 다음, 이들을 키르히호프의 전압 법칙에 적용해서

와 같이 복소수 형태의 임피던스를 유도하였다. 이런 복소 임피던스는

위 그림과 같이 x축이 실수, y축이 허수인 복소 평면에 표현할 수 있고,

와 같은 삼각함수 형태로 표현할 수 있으며, 오일러의 공식에 따라,

로도 변환할 수 있다.

라는 수학적으로 말이 안되는 점에서 출발하였지만, 올리버 헤비사이드의 이런 이론은 교류 회로의 여러 많은 해석과 일치하는 결과를 보였고, 특히나 미적분 없이 대수학적인 방식으로도 쉽게 해석할 수 있는 방법을 만들었다는 점에서 높은 의의를 가지고 있다. 이것은 임피던스가 아닌 교류 전압이나 전류와 같은 부분에도 적용할 수 있다.

위와 같은 교류 전류를 예로 들어보자. 이 교류 전류는 특별한 문제가 없는 한, 진폭이나 위상, 그리고 주기가 변하지 않는 사인함수의 특성을 보일 것이다.

위 그림과 같은 R-L-C 회로에 위와 같은 교류 전류가 흐르기 위해서는

θ만큼의 위상차를 갖는 전압이 인가되어야 한다는 것을 이미 지난 글에서 확인하였다. 그리고 인가된 전압 역시 교류 전류와 비교했을 때 위상에 대한 차이만 있을 뿐 진폭이나 주기 등이 변하지 않는 사인함수의 특성을 보일 것이다. 이런 교류 전압과 전류를 하나의 그래프 상에 표현하면,

위 그림과 같이 그려질 것이고, 각각의 진폭만큼 증가와 감소를 반복하는 모습으로 표현될 수 있다. 그리고, 사인함수가 그리는 궤적은 각각의 진폭을 반지름으로하는 원의 형태로 극좌표계에 표현될 수 있고,

ωt = 0인 점에서, 위와 같이 표현될 수 있다. 이것을 앞에서 이야기한 올리버 헤비사이드의 방식으로 표현하면,

와 같이 표현할 수 있다. 그리고, 이것을 페이저라고 부른다. 정리하자면, 페이저는 진폭과 위상 그리고 주기가 변하지 않는 사인함수를 위상으로 표현하는 방법이고, 페이저를 이용하면 복잡한 삼각함수 연산이나 미적분 없이도 교류 회로를 쉽게 해석할 수 있다.

멀티심을 이용해서 복소 임피던스를 확인하는 방법을 통해 페이저에 관한 내용을 확인해보자.

다음과 같이 크기가 20[Ω]인 저항과 1[mH]인 인덕터, 그리고 500[μF]인 커패시터가 직렬로 연결되어 있고, 이와 병렬로 복소 임피던스를 정의하는 블록을 연결하였다. 3개의 수동 소자에 대한 복소 임피던스를 각각 ZR, ZL, ZC이라고 정의하자. 앞에서 이야기한 방식대로 각각의 복소 임피던스를 정의하면,

이 된다. 3개의 수동 소자는 모두 직렬로 연결되어 있으므로, 이들의 합성 복소 임피던스의 크기는

이렇게 확인한 합성 복소 임피던스의 크기대로 멀티심의 복소 임피던스 블록에 정의하고 시뮬레이션을 실행하면

계산상 발생할 수 있는 범위의 오차 수준으로, 거의 비슷한 마디 전류가 흐름을 확인할 수 있다.

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