교류 회로의 합성 임피던스

교류 R-L 회로의 임피던스

위 그림과 같이, 크기가 R[Ω]인 저항과 L[H]인 인덕터가 직렬로 연결된 회로에 크기가 v(t)[V]인 전압을 연결하였다면 키르히호프 전압 법칙에 따라,

의 관계식을 만들 수 있습니다. 그리고 이 회로에

의 전류가 흘렀다면, 저항에서 발생하는 전압 강하량과 인덕터에서의 유도 전압은

과 같습니다. 이들을 키르히호프 전압 법칙의 관계식에 대입하면,

가 되구요. 삼각함수의 합성 공식을 적용해서 위 식을 정리하면,

으로 정리할 수 있습니다.

초반에 정의한 교류 전류와 지금까지의 과정을 통해 유도한 교류 전압의 순시값을 통해,

저항과 인덕턴스가 결합된 교류 회로에서의 저항 성분을 위와 같이 알 수 있구요. 이것을 임피던스라 부르고, 회로를 해석하는 과정에서 알파벳 Z로 표현하며, 단위는 마찬가지로 옴[Ω]을 사용합니다. 순수한 저항 소자와 같은 단위를 사용은 하지만, 교류 회로에서의 저항 성분을 나타내기 때문에 임피던스는 주파수 및 위상에 대한 특성도 함께 가지고 있습니다. 인덕턴스에 의한 리액턴스의 특성 때문에 그런 것이구요. 그래서 교류 전압에 대한 순시값을 표현하는 과정에서 θ라는 위상각이 함께 표현되어 있습니다.

멀티심을 이용해서 지금까지의 내용을 확인해 보겠습니다. 먼저, 크기가 5[Ω]인 저항과 100[mH]인 인덕터를 직렬로 연결한 회로에 최대값이 1[A]이고 주기가 200[ms]인 교류 전류원을 연결하였을 때, 위에서 설명드린 내용에 따라 이 회로에서의 합성 임피던스의 크기를 구해보면,

이 되구요. 임피던스에 의한 위상차는

가 됩니다. 멀티심에서 합성 임피던스의 크기를 직접 측정해 보면,

으로, 계산을 통해 구한 값과 거의 비슷하다는 것을 확인할 수 있구요. 이 회로에 흐르는 전류와 합성 임피던스에 걸리는 전압을 측정해 보면,

위 그래프와 같이 전류가 전압보다 지상인 결과를 얻을 수 있습니다.

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교류 R-C 회로의 임피던스

크기가 R[Ω]인 저항과 C[F]인 커패시터가 직렬로 연결된 회로에 크기가 v(t)[V]인 전압을 연결하였다면 키르히호프 전압 법칙에 따라,

의 관계식을 만들 수 있습니다. 이 회로에

의 전류가 흘렀다면, 저항에서 발생하는 전압 강하량과 커패시터에서의 전압이

와 같구요. 이들을 키르히호프 전압 법칙의 관계식에 대입하면,

가 되고, 삼각함수의 합성 공식을 적용해서 위 식을 정리하면,

이 됩니다. R-C 회로의 합성 임피던스 또한 커패시터가 가지고 있는 리액턴스의 특성을 함께 가지고 있으므로,

와 같은 크기를 가지게 되구요. θ라는 위상각도 같이 가지게 됩니다.

지금까지의 내용을 멀티심을 이용해서 확인해 보겠습니다. 먼저, 크기가 2[Ω]인 저항과 10[mF]인 커패시터를 직렬로 연결한 회로에 최대값이 10[V]이고 주기가 200[ms]인 교류 전압을 인가하였을 때, 위에서 설명드린 내용에 따라 이 회로에서의 합성 임피던스의 크기를 구해보면,

이 되구요. 임피던스에 의한 위상차는

가 됩니다. 교류 전압의 식을 유도하는 과정에서 위상각의 부호가 (-)였으므로, 여기서의 임피던스에 대한 위상각의 부호도 (-)가 되구요. 멀티심에서 측정한 합성 임피던스의 크기와 비교해 보면,

계산을 통해 구한 값과 거의 비슷한 결과임을 확인할 수 있습니다. 그리고, 이 회로에 흐르는 전류와 합성 임피던스에 걸리는 전압을 측정하면,

위 그림과 같은 결과를 확인할 수 있습니다.

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교류 R-L-C 회로의 임피던스

이번에는 크기가 R[Ω]인 저항과 L[H]인 인덕터, 그리고 C[F]인 커패시터가 직렬로 연결된 회로에 크기가 v(t)[V]인 전압이 연결된 상황을 생각해 봅시다. 키르히호프 전압 법칙에 따라,

의 관계식을 만들 수 있는데요. 이 회로에

의 전류가 흘렀다면, 키르히호프 전압 법칙의 관계식은

으로 다시 쓸 수 있습니다. 각 소자별로 식을 정리한,

이 내용을 키르히호프 전압 법칙의 미분 방정식에 대입하면

와 같이 정리할 수 있구요. 인덕터와 커패시터의 리액턴스 성분을

이라고 치환한다면, 키르히호프 전압 법칙의 미분 방정식을

와 같이 고쳐 쓸 수 있고, 삼각함수 공식을 적용하여 이 식을 정리하면,

이 됩니다. 전압의 순시값을 얻기 위해 양변을 다시 한번 시간에 대해 적분하면,

의 결과를 얻을 수 있구요. 여기서 위상각 θ는

가 되고, 합성 임피던스 크기는

가 됩니다.

지금까지의 내용을 멀티심을 이용해서 확인해 보겠습니다. 먼저, 크기가 3[Ω]인 저항과 200[mH]인 인덕터, 그리고 5[μF]인 커패시터를 직렬로 연결한 회로에 최대값이 10[V]이고 주기가 200[ms]인 교류 전압을 인가하였을 때, 위에서 설명드린 내용에 따라 이 회로에서의 합성 임피던스의 크기를 구해보면,

이 되구요. 임피던스에 의한 위상차는

가 됩니다. 멀티심에서 측정한 합성 임피던스의 크기와 비교해 보면,

계산을 통해 구한 값과 거의 비슷한 결과임을 확인할 수 있습니다. 그리고, 이 회로에 흐르는 전류와 합성 임피던스에 걸리는 전압을 측정하면,

위 그림과 같은 결과를 확인할 수 있습니다.