교류 회로의 합성 임피던스

교류 R-L 회로의 임피던스

다음과 같이,

크기가 R[Ω]인 저항과 L[H]인 인덕터가 직렬로 연결된 회로에 크기가 v(t)[V]인 전압을 연결하였다면 키르히호프 전압 법칙에 따라,

의 관계식을 만들 수 있다. 이 회로에

의 전류가 흘렀다면, 저항에서 발생하는 전압 강하량과 인덕터에서의 유도 전압은

과 같다. 이들을 키르히호프 전압 법칙의 관계식에 대입하면,

가 되고, 삼각함수의 합성 공식을 적용해서 위 식을 정리하면,

이 된다. 초반에 정의한 교류 전류의 순시값에 대한 식과 지금까지의 과정을 통해 유도된 교류 전압의 순시값에 대한 식을 비교해보면,

위와 같이 저항과 인덕턴스가 결합된 형태의 교류 회로에서 사용하는 저항 성분을 발견할 수 있다. 이것을 임피던스라 부르고, 위와 같이 알파벳 Z로 표현하며, 단위는 마찬가지로 옴[Ω]을 사용한다. 순수 저항과 같은 단위를 사용하지만, 임피던스는 분명히 다른 특성도 함께 가지고 있다. 위의 식에서도 발견할 수 있듯이, 임피던스의 크기는 교류 회로에서의 주파수에 대한 특성도 함께 가지고 있다. 더 정확히 표현하자면, 인덕터가 가지고 있는 리액턴스의 특성도 함께 포함하고 있기 때문이고, 이것을 바꿔 말하면 위상차에 대한 특성도 함께 가지고 있다는 의미이다. 그래서, 인가 전압을 유도하는 과정에서 보면, θ라는 위상각이 함께 표현되어 있다.

지금까지의 내용을 멀티심을 이용해서 확인해보자. 먼저, 크기가 5[Ω]인 저항과 100[mH]인 인덕터를 직렬로 연결한 회로에 최대값이 1[A]이고 주기가 200[ms]인 교류 전류가 공급되는 회로를 위 그림과 같이 구성하였다. 이 회로에서의 합성 임피던스의 크기를 위에서 살펴본 내용에 따라 구해보면,

이고, 임피던스에 의한 위상차는

가 된다. 멀티심에서 합성 임피던스의 크기를 측정하면,

으로, 계산을 통해 구한 값과 거의 비슷한 결과임을 확인할 수 있다. 그리고, 이 회로에 흐르는 전류와 합성 임피던스에 걸리는 전압을 측정하면,

위 그림과 같은 결과를 확인할 수 있다. (전류가 전압보다 지상)

교류 R-C 회로의 임피던스

다음과 같이,

크기가 R[Ω]인 저항과 C[F]인 커패시터가 직렬로 연결된 회로에 크기가 v(t)[V]인 전압을 연결하였다면 키르히호프 전압 법칙에 따라,

의 관계식을 만들 수 있다. 이 회로에

의 전류가 흘렀다면, 저항에서 발생하는 전압 강하량과 커패시터에서의 전압은

과 같다. 이들을 키르히호프 전압 법칙의 관계식에 대입하면,

가 되고, 삼각함수의 합성 공식을 적용해서 위 식을 정리하면,

이 된다. R-C 회로의 합성 임피던스 역시, 커패시터가 가지고 있는 리액턴스의 특성을 함께 가지고 있으므로,

와 같은 크기를 가지게 되고, 키르히호프 전압 법칙의 관계식에서 유도된 교류 전압의 식과 같은 위상각을 가지게 된다.

지금까지의 내용을 멀티심을 이용해서 확인해보자. 먼저, 크기가 2[Ω]인 저항과 10[mF]인 커패시터가 직렬로 연결된 회로에 최대값이 10[V]이고 주기가 200[ms]인 교류 전압을 인가하는 회로를 위 그림과 같이 구성하였다. 이 회로에서의 합성 임피던스의 크기를 위에서 살펴본 내용에 따라 구해보면,

이고, 임피던스에 의한 위상차는

가 된다. 키르히호프 전압 법칙에서 유도된 교류 전압의 식에서 위상각 앞의 부호가 (-)이므로, 임피던스의 위상각의 부호는 (-)가 된다. 멀티심에서 합성 임피던스의 크기를 측정하면,

으로, 계산을 통해 구한 값과 거의 비슷한 결과임을 확인할 수 있다. 그리고, 이 회로에 흐르는 전류와 합성 임피던스에 걸리는 전압을 측정하면,

위 그림과 같은 결과를 확인할 수 있다.

교류 R-L-C 회로의 임피던스

다음과 같이,

크기가 R[Ω]인 저항과 L[H]인 인덕터, 그리고 C[F]인 커패시터가 직렬로 연결된 회로에 크기가 v(t)[V]인 전압을 연결하였다면 키르히호프 전압 법칙에 따라,

의 관계식을 만들 수 있다. 이 회로에

의 전류가 흘렀다면, 키르히호프 전압 법칙의 관계식은

으로 정리할 수 있다. 각 소자별로 식을 정리하면,

이 되므로, 키르히호프 전압 법칙의 미분 방정식에 대입하면

와 같이 정리할 수 있다. 인덕터와 커패시터의 리액턴스 성분에 대해

이라고 한다면, 키르히호프 전압 법칙의 미분 방정식을

와 같이 변환할 수 있고, 삼각함수 공식을 적용하여 이 식을 정리하면,

가 된다. 전압의 순시값을 얻기 위해 양변을 다시 한번 시간에 대해 적분하면,

의 결과를 얻을 수 있다. 그리고, 위상각 θ는

이고, 합성 임피던스 크기는

가 된다.

지금까지의 내용을 멀티심을 이용해서 확인해보자. 먼저, 크기가 3[Ω]인 저항과 200[mH]인 인덕터, 그리고 5[μF]인 커패시터가 직렬로 연결된 회로에 최대값이 10[V]이고 주기가 200[ms]인 교류 전압을 인가하는 회로를 위 그림과 같이 구성하였다. 이 회로에서의 합성 임피던스의 크기를 위에서 살펴본 내용에 따라 구해보면,

이고, 임피던스에 의한 위상차는

가 된다. 멀티심에서 합성 임피던스의 크기를 측정하면,

으로, 계산을 통해 구한 값과 거의 비슷한 결과임을 확인할 수 있다. 그리고, 이 회로에 흐르는 전류와 합성 임피던스에 걸리는 전압을 측정하면,

위 그림과 같은 결과를 확인할 수 있다.

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