순시값, 최대값, 평균값, 실효값

교류

전기 회로에서는 전류나 전압에 대해 직류 (DC, Direct Current)와 교류 (AC, Alternatinf Current)가 있습니다.

이 둘을 구분하는 기준은 방향인데요. 크기의 변화는 있더라도 항상 같은 방향으로만 전압이 인가되거나 전류가 흐르는 것을 직류라고 부르고, 시간이 흐름에 따라 전압의 인가 방향이나 전류의 흐름이 바뀌는 것을 교류라고 부릅니다.

대부분의 회로 이론에서는 직류 회로에서의 해석 방법을 먼저 배웁니다.이유는 해석하기 쉽기 때문인데요.그래서 대부분의 전자제품 회로들을 직류로 설계합니다. 하지만, 승압 또는 강압이 어렵고 장거리 송전 시 손실이 많이 발생하는 등의 단점도 함께 가지고 있어서 송배전 분야나 모터를 동작시키는 부분에서는 교류가 많이 쓰이지요.

위 그림과 같이 영구 자석 사이에 도체가 놓구요. 외부의 힘에 의해 도체를 회전시키게 되면, 패러데이의 법칙에 따라 변화되는 자기장에 대한 역기전력이 유도됩니다.

유도되는 역기전력의 방향은 플레밍의 오른손 법칙에 따라 자속의 방향과 도체의 이동 방향에 의해 결정되구요.

그 크기는 위 식과 같이 결정됩니다. (B는 자속 밀도 [Wb/㎡], v는 도체의 속도[m/s], l은 도체의 길이[m], 끝으로 θ는 자속과 도체의 운동 방향이 이루는 각을 의미..) 따라서, 영구 자석 사이의 도체가 외력에 의해 1회전 할 때마다,

위 그림과 같은 사인파 형태의 기전력이 유도되구요. 도체가 계속해서 같은 속도로 회전하게 되면 동일한 사이파형의 기전력도 계속해서 유도됩니다. 만약에 회전하는 도체가 특정 회로와 연결되어 있다면, 도체의 회전이 곧 교류 전원의 역할을 하게 되는 것이지요. 다시 말해, 도체를 회전시키는 외력에 의한 역학적 에너지가 전기 에너지로 전환되었다는 의미입니다.

발전기의 메커니즘도 지금 설명드린 내용과 비슷한 방법으로 진행됩니다. 그래서, 발전소 등에서 생산되는 교류 전기 역시, 0에서 360도 범위를 반복하는 사인파 형태를 띄고 있는데요. 이렇게 교류 전기에서의 파형이 반복되기 때문에, 직류에 없었던 주파수라는 개념이 등장하게 됩니다.

사인 함수는 0에서 360도 범위의 곡선이 반복해서 나타나는 삼각함수입니다.다시 말해, 한 사이클에 대한 파형 (0에서 360도 범위의 사인 곡선)이 반복해서 나타난다는 말인데요. 보통은 각도를 변수로 하고 있는 함수이지만, 도체의 회전에 의해 만들어지는 파형이기 때문에 각속도 등을 적용하면 시간에 대한 함수로 변경할 수 있구요. 도체가 일정한 속도로 회전을 반복하였다면 한 사이클의 파형이 만들어지는데 걸리는 시간이 동일할 것입니다. 이렇게 한 사이클의 파형이 만들어지는데 걸리는 시간을 주기라고 하구요. 시간을 의미하기 때문에 알파벳 T (단위는 초를 사용)를 이용해서 주기를 표현합니다. 그럼 여기서 일정한 주기를 갖는 사이클의 파형이 단위 시간 동안 몇 개가 나오는지를 생각해볼 수 있는데요. 이것을 주파수라고 부르구요. 1초에 만들어지는 사이클의 파형을 의미하며, Frequency의 약자인 f (단위는 Hz를 사용)를 이용해서 표현합니다. 즉, 영구 자석 사이의 도체가 120[rpm]으로 일정하게 회전하였다면, 1초에 2회전을 했다는 의미이므로, 주파수 f는 2[Hz], 주기는 0.5[s]가 됩니다.

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순시값 & 최대값 & 평균값 & 실효값

방금 위에서 설명드린 영구 자석 사이의 도체가 회전을 하게 되면, 유도되는 기전력의 관계식에 의해 ±2Blv의 범위 안에서 사인 곡선의 파형이 만들어집니다. 여기서 도체가 일정한 속도로 회전했다고 가정한다면, 유일한 변수인 v가 상수로 고정이 되므로 유도되는 기전력은 일정한 범위 안에서 변하게 되는데요. 이렇게 유도된 기전력을 하나의 전압원으로 사용한다면,

의 형태로 표현할 수 있습니다 (여기서 ω는 각속도 [rad/s]..).

이렇게 정의된 교류 전압은 사인 파형을 가지므로 시간에 따라 계속해서 값이 변합니다. 다시 말해 회로에 인가되는 전압의 크기가 순간순간 변한다는 말인데요. 이렇게 매순간 변하는 전압의 크기를 순시값이라고 하구요. 위 그림과 같이 V_m과 -V_m의 범위 안에서 순시값이 변하므로, 위 관계식의 V_m을 최대값이라 부릅니다.

회로에 인가되는 전압의 크기가 매순간 변한다는 것은 회로에 끼치는 영향도 매번 달라진다는 것을 의미합니다. 그래서, 회로에 끼치는 영향이 어느 정도인지를 가늠하기 위해 평균의 개념을 가져와서 수학적으로 접근하게 되는데요. 이런 개념에서 출발한 것이 평균값입니다. 동일한 사이클의 전압이 반복해서 회로에 영향을 끼치므로, 보통은 한 주기에 대한 평균을 구하는데, 사인 곡선의 경우에는 180도를 기준으로 점대칭 관계를 보이므로 수학적인 계산법에 의한 평균은 0이 됩니다.

수학적인 계산법에 의해 평균이 0이라고 해서, 한 주기 동안 회로에 물리적으로 아무런 영향을 끼치지 않았다는 것은 아닙니다. 왜냐하면, 교류 회로에서 (+)와 (-)라는 부호는 어디까지나 방향이 반대라는 것을 의미하는 것이기 때문인데요. 그래서 한 주기를 기준으로 했을 때 수학적으로 평균값이 0이 되는 경우에는 대칭을 이루는 반파에 대해서만 평균값을 계산합니다.

그래서, 위의 과정처럼 사인파형의 교류 전압을 계산할 수 있구요. 이렇게 계산된 교류 전압의 평균값은 최대값의 약 63.7%가 됩니다.

수학적인 평균의 개념으로 회로를 해석하는 것도 나름대로 의미는 있습니다만, 실제로는 실효값을 이용해서 회로에 끼친 영향을 더 많이 해석합니다.

실효값은 말 그대로 실질적으로 작용된 효력을 의미하는 값인데요. 위 그림과 같이 크기가 R[Ω]인 저항에 크기가 v(t)인 교류 전압원을 연결했다고 가정해 봅시다. 교류 전압이 연결되었으므로 매순간 인가되는 전압의 크기가 달라진다는 것 뿐이지, 전압과 전류, 저항의 상관관계가 달라지는 것은 아닙니다. 다시 말해, 옴의 법칙이 적용된다는 말이구요. 인가되는 전압의 크기가 매번 바뀌기 때문에 회로에 흐르는 전류의 크기와 방향 또한 매번 바뀌게 될 것입니다. 즉, 교류 전류가 회로에 흐른다는 말이구요. 저항에 의해 교류 전압과 교류 전류의 진폭 (최대값)만 달라질 뿐, 주기나 주파수 성분은 달라지지 않을 것입니다.

아무튼, 교류 전압이 인가됨에 따라 회로에 교류 전류가 흐를 것이기 때문에 저항 R에서는 줄열이 발생하게 됩니다. 그리고 줄열의 크기는 교류 전류의 순시값에 따라 크고 작음이 반복하게 될 것인데요. 한 주기 동안 저항 R에서 발생한 줄열은

위 식과 같이 계산할 수 있습니다.

만약에 임의의 직류 전류 I[A]를 같은 크기의 저항에 같은 시간동안 흘려주어서 같은 크기의 줄열이 발생했다고 가정해 봅시다.

그러면 위 식과 같은 관계식이 만들어지구요. 이 식을 전개해서 풀어보면,

와 같이 정리할 수 있습니다. 이렇게 같은 저항에 대해 같은 크기의 줄열을 낼 수 있는 직류 회로에서의 값을 실효값이라고 부르구요. 실제로, 회로에

의 교류 전류가 흘렀다고 가정하면, 교류 전류에 대한 실효값은

와 같이 정리할 수 있고, cos 함수의 한 주기 동안 평균은 0이므로

와 같이 정리되면서, 최대값의 약 70.7%가 실표값이 된다는 것을 알 수 있습니다.