역률과 무효율

역률과 무효율

이전 글을 통해, 교류 회로에서 각각의 수동 소자들의 소비 전력에 대해 알아보았습니다.

그렇다면, 위 그림과 같이 크기가 R[Ω]인 저항과 L[H]인 인덕터, 그리고 C[F]인 커패시터가 직렬로 연결된 회로에 크기가 v(t)인 교류 전압을 인가하여, i(t)의 전류가 회로에 흘렀다고 가정한다면,

이 회로에서의 순시 전력은

이 됩니다. 이 식을 삼각함수 공식을 이용해서

와 같이 정리할 수 있구요. 한 주기 동안의 평균 전력을 계산해 보면,

이 됩니다. 이 식에서 코사인 함수의 한 주기에 대한 평균이 0이라는 점과 상수 함수의 평균은 항상 자기 자신이라는 점에서 한 주기에 대한 평균 전력은

과 같이 정리할 수 있구요. 이것을 최대값이 아닌 실효값을 이용하여 다시 한번 정리하면,

이 되고, 전압과 전류의 위상차를 θ로 치환하면,

이 됩니다. 직류 회로에서 전력을 계산할 때 전압과 전류의 크기를 단순히 곱해줬던 것과 달리, 교류 회로에서는 위상차 θ에 대한 코사인 함수값이 추가되었다는 것을 알 수 있는데요.

이해를 돕기 위해 위상차 θ를 갖는 벡터의 형태로 전압과 전류를 위 그림과 같이 표현했을 때,

위상차 θ에 대한 코사인 함수를 적용한다는 것은  위 그림과 같이 두 벡터의 내적을 의미하구요. 실질적으로 소비되는 에너지의 양이라는 의미가 됩니다. 그래서 이것을 유효전력이라고 부릅니다.

위 그림에서 볼 수 있듯이, 위상각 θ에 대한 코사인 함수는 θ만큼의 사이각을 갖는 두 벡터를 같은 방향으로 만들어주는 역할을 합니다. 이것을 바꿔 말하면, 세 개의 수동 소자 중에서 전압과 전류를 동상으로 만들어주는 저항에서 소비되는 전력이라는 의미이기도 한데요. 그렇다면, 임피던스의 위상각을 만들어내는 요인인 인덕터와 커패시터에서 소비되는 전력에 대해서도 생각해봐야 합니다. 이전 글에서도 설명드렸듯이, 인덕터와 커패시터는 전압과 전류를 90도의 위상각을 갖도록 만들어 주는 소자입니다. 그래서 한 주기 동안의 인덕터와 커패시터에서 소비되는 평균 전력은 0이었지요. 이것을 벡터와 연관시켜 본다면,

위 그림과 같이 수직 관계인 두 벡터 사이의 연산이라고 할 수 있는데요. 이 경우 두 벡터에는 중첩되는 성분이 하나도 없으므로 연산 결과는 0이 되고, 실질적으로 소비되는 에너지가 없다는 의미로 해석할 수 있습니다. 그래서 이것을 무효전력이라고 부릅니다.

유효전력: 저항 소자에서의 전력, 알파벳 P로 표현하고 단위는 [W]
무효전력: 인덕터와 커패시터 소자에서의 전력, 알파벳 Q로 표현하고 단위는 [VAR] (Volt- Ampare Reactive)

 

복소 임피던스를 이용해서 교류 회로를 조금 더 쉽게 해석할 수 있었듯이, 전력 또한 복소 전력의 개념으로 접근하면 더욱 쉽게 이해할 수 있는데요.

페이저에 대한 내용에서도 말씀드렸듯이, 복소 평면에서의 임피던스는 실수부와 허수부로 나누어집니다. 그리고, 복소 임피던스의 실수부는 저항 성분이고, 허수부는 리액턴스 성분으로 구성되었는데요. 이것을 지금까지 알아본 유효전력과 무효전력에 적용한다면,

와 같이 표현할 수 있습니다. 여기서 S를 피상전력 또는 겉보기 전력이라 부르구요. 단위로는 [VA]를 사용합니다. 위 그림에서 볼 수 있듯이, 피상전력은 직류회로에서의 전력을 계산하는 것과 같이, 전압과 전류의 크기를 곱한 형태로 계산합니다. 따라서,

와 같이 정리할 수 있는데요. 피상전력의 크기가 실효값을 이용해서 계산된다는 점에서, 피상전력은 실제 회로에서 요구되는 에너지의 크기라고 생각할 수 있습니다. 즉, 서로 다른 두 회로에 같은 같은 크기의 교류 전압을 인가해서, 같은 실효값의 교류 전류가 회로에 흘렀다면, 이 두 회로에서의 피상 전력은 같다는 의미지만, 회로에서는 실질적으로 유효전력의 크기만큼만 에너지가 소비되므로, 두 회로에서 소비되는 전력의 크기까지 같다고는 볼 수 없다는 말입니다.

당연한 말이겠지만, 피상전력이 같은 회로에서는 위상각의 크기가 0도에 가까울수록 실제 소비되는 전력의 크기도 커집니다. 다시 말해, 피상전력에서 유효전력이 차지하는 비율이 위상각 θ에 대한 코사인 함수값이고, 무효전력이 차지하는 비율이 사인 함수값이 되므로, 코사인 함수값이 커질수록 유효전력의 비중이 높은 것이구요. 사인 함수값이 커질수록 무효전력의 비중이 높은 것이기 때문에 위상각 θ에 대한 코사인 함수값을 역률이라 부르고, 사인 함수값을 무효율이라고 부릅니다.