수치해석: 테일러 급수

처음 계획했던 글의 순서대로라면,

오늘 글의 주제는 비선형 방정식의 근을 찾는 수치해석적 방법 중

가장 많이 사용되는 방법인 뉴턴 랩슨 법이 되어야 했다.

하지만, 비선형 방정식의 수치 해석법 중 하나인 연속적 근사법에 대한 내용을 알기 위해서는

테일러 급수에 대한 내용을 이해하고 있어야 하므로,

오늘은 테일러 급수에 대한 내용의 글을 작성하려고 한다.

테일러 급수

인터넷 검색창에 테일러 급수를 치고 검색하면

다양한 각도로 상세하게 설명된 글들을 많이 접할 수 있다.

그래서, 멱급수에 대한 내용부터 모두 살펴보자면, 너무 장황할 수 있으므로,

앞으로의 내용에 필요한 만큼만 내용을 정리해보자.

다음의 두 함수가 있을 때,

함수 f(x)는 보기만해도 머리가 아플 정도로 복잡한 함수이다.

그러나, 함수 g(x)는 f(x)에 비하면 너무나도 간단해 보이는 함수이다.

이유는 함수 g(x)의 경우 다항식만으로 구성된 함수이기 때문인데,

함수 f(x)처럼 복잡하게 구성된 함수라 할지라도,

함수 g(x)처럼 다항식 형태로 표현될 수 있다면 우리는 좀 더 쉽게 문제에 다가갈 수 있을 것이다.

테일러 급수는 이렇게 복잡한 형태로 구성된 함수를 다항식 형태로 표현하는 방법이라고 정리할 수 있다.

먼저, 함수 f(x)가 x = a 부근에서 여러번 미분이 가능하다고 할 때,

미적분학의 기본 정리에 따라,

가 성립한다.

여기서 적분 파트의 부분 적분을 반복하면,

을 얻을 수 있다.

마지막으로, 적분 기호를 달고 있는 부분들을 나머지 R이라고 지정하면,

으로 정리할 수 있고, 이것을 x = a에서 함수 f(x)의 테일러 급수라고 한다.

예를 들어서, 다음과 같은 함수 f(x)가 주어졌을 때,

x = 2.5에서 함수 f(x)의 테일러 급수는

가 된다. 이렇게 구한 테일러 급수를 이용하여 함수값 f(1)을 계산해보자.

실제로 본 함수에 1을 대입했을 때의 결과와 테일러 급수를 이용한 계산이 같음을 알 수 있다.