수치해석: 비선형 방정식의 수치해석법 - 직접탐색법 (할선법)

오늘은 비선형 방정식의 근을 직접 탐색하는 또 다른 방법에 대해 글을 포스팅 하려고 한다.

직접탐색법 - 할선법

오늘은 2분법과 마찬가지로 직접 근을 탐색하는 방법 중

선형 역보간법 또는 할선법이라고 불리는 방법에 대해 알아보려고 한다.

지난 글에서 살펴본 2분법은 주어진 함수의 근이 존재하는 폐구간을 정한 다음,

수렴 판정 조건을 만족할때까지 주어진 구간을 절반씩 좁혀나가면서 근을 찾아가는 방법이었다.

< 지난 글 참조 >

2020/02/24 - [Fundamentals/수치해석] - 수치해석: 비선형 방정식의 수치해석법 - 직접탐색법 (2분법)

오늘 살펴볼 할선법도 2분법과 마찬가지로,

주어진 함수의 근이 존재하는 폐구간을 정한 다음,

수렴 판정 조건을 만족할때까지 반복적으로 구간을 좁혀나가는 방식은 맞지만,

구간을 좁혀나가는 과정이 2분법과 다르다.

이 그림은 할선법으로 임의의 함수 f(x)의 근을 탐색하는 방법을 설명하는 그림이다.

함수 f(x)에 대하여 근이 존재하는 폐구간으로 [x1, x2]가 주어졌을 때,

두 점 (x1, f(x1)), (x2, f(x2))를 통과하는 직선과 x축과의 교점 (x0)를 기준으로 구간을 2분한다. 

2분법에서와 마찬가지로, 중간값 정리를 이용하여 나눠진 두 구간 중 근이 있는 구간을 선정하여

수렴 판정 조건이 나올 때까지 새로운 구간마다 같은 과정을 반복 수행하면서 근을 탐색한다.

위의 과정을 통해 알 수 있듯이,

2분법에서는 항상 주어진 구간의 중간 값 (함수의 근으로 추정하는 근사값)을 기준으로 구간을 2분할하고,

분할된 구간 중 근이 있는 구간을 찾아서 2분할 하는 과정을 반복하기 때문에,

반복이 거듭될수록 중간 값이 근에도 수렴하면서, 구간의 폭도 0에 수렴하는 특징이 있다.

그래서, 구간의 폭이 수렴 판정 조건 (ε) 보다 작거나 같은지를 검사했다.

그러나, 할선법에서는 구간의 폭이 2분법처럼 항상 절반씩 줄어드는 것도 아니고,

처음 연산에서 분할된 구간 중 근이 존재하는 구간에서 근에 대한 근사값만 점차 근에 수렴하는 특징이 있기 때문에,

여기서는 n - 1번째 구한 근사값과 n번째 구한 근사값의 차이로 수렴 판정을 진행한다.

지난 2분법때의 예제였던

함수의 근을 이번에는 할선법을 이용하여 탐색해보자.

(MS Mathematics를 통해 얻은 이 함수의 근은 다음과 같다.)

이번에도 LabVIEW를 이용하여 할선법에 대한 프로그램을 작성하였다.

< 프로그램 시연 영상 (마우스로 클릭하면 보입니다.) >

시연 영상에서 확인할 수 있듯이, 2분법에서는 항상 중간 값에 의해 구간이 정해지다보니,

x1과 x2의 값이 모두 근과 가까운 값으로 조정되었으나,

할선법에서는 x1과 x2의 값 중 상대적으로 근과 가까운 쪽의 값이 근에 점차 다가오는 것을 확인할 수 있다.